极限的等效替代与泰勒展开的取舍（高等数学）

我之感于数学

数学是一把由灵魂所持的利剑

这把利剑啊

势必能让我冲破皮囊，冲破阶层

所幸

我所遇到数学老师都是

那么和蔼可亲

我所感于数学

从我初学开始

便就没有质的改变

学识尚浅，目前接触最深刻的只是微积分，看着历史上的数学大佬们费劲心思从无穷小量角度定义数学的实质，经常会被带入思考。

前些日遇到一个问题以题为例

君请看第5题，下面尝试用等效替代和泰勒展开两种方法切入

1.等效替代

其解法符合等效替换原理，即将sin3x等效为3x可结果明显是错误的，为什么

提出原理，此题目所要求解的关系式，为一个整体极限

整体极限需要局部极限暴露实质，即

可知若直接用等效替换，会余出o（f（x））/x 无法约除。

2.泰勒展开

可见泰勒展开得出正确结果，为什么，因为泰勒展开所处层面非为极限层面，展开不需要极限辅助。

总结：等效替代不适用于整体极限，即若单独算极限得出常数，而该常数同时受到另一极限变量制约，则等效替代不成立，追寻泰勒展开消除影响。

第6题留于读者自己证明。